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特霍夫特异常对量子物质施加了根本性约束，在规范场化时往往会涌现出新的对称性结构。该研究团队分析了一个具有四种全局对称性的晶格模型，该模型实现了由∼a₁∧a₂∧a₃∧a₄描述的混合异常（其中aᵢ表示全局对称性的背景规范场）。通过显式晶格规范场化，研究人员证明了高阶对称性结构的涌现现象，包括2-群对称性、不可逆对称性以及高阶融合范畴对称性。该工作还从场论角度对这些结果进行了解释。 将此框架应用于具有利布-舒尔茨-马蒂斯异常的系统（通过将部分内禀对称性提升为平移对称性获得），该团队证明调制（偶极）对称性会作为纯内禀IV型异常系统中对应对称性的直接对应物出现。尤为重要的是，研究人员发现了先前研究的调制对称性中不存在的全新特征：其实现本质上可能依赖于缺陷的存在。具体而言，涌现的对称性结构会随对称性缺陷是否存在而变化。这项工作建立了混合异常的具体晶格实现方案，揭示了涌现对称性的丰富结构，从而阐明了其对量子物质相的约束机制。