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平面色码中的综合征提取过程因高权重稳定子和钩状错误而变得复杂，这些因素会降低电路级距离。当每个格点仅使用单个辅助量子比特时，任何空间均匀的电路都会使电路级距离减半。该研究团队提出了一种具有颜色相关门时序的单辅助量子比特综合征提取电路，可完全避免体区内的所有恶性钩状错误，从而保持完整的电路级距离。该电路具有最小深度：所有相同泡利类型的稳定子仅需六个时间步即可并行测量。此外，该时序方案可直接应用于XYZ色码电路，从而提升时间距离性能。研究人员发现，在边界区域，单个钩状错误不会单独降低距离，只有特定组合的钩状错误才会产生这种影响，该工作将其定义为分数钩状错误。通过在不同电路级噪声模型和物理错误率下进行蒙特卡洛模拟，该团队证明该电路性能优于现有最优方案。