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量子限域中的电子会呈现离散的能谱，该能谱由给定势场下薛定谔方程的解所定义。目前已知严格解析解的体系包括方形势阱、圆形势场、四分之一圆形势场及等边三角形势场。对于更复杂几何形状的闭式解可能未知，但可采用数值方法求得近似解。本研究展示了有限元法在Wolfram Mathematica中的实现，并将其应用于多种几何形状的量子台球系统。为评估该方法精度，研究人员通过三种方式验证：分析多边形边数递增时的极限情况计算能态、对比已知精确解几何构型的数值结果、以及执行标准收敛性测试。有限元法计算结果与已知势场的解析解高度吻合，证明了该方法的高精确性。研究还发现，在高能级指数n条件下，特定几何结构中可能出现量子疤痕现象。该工作通过定性分析，进一步探究了量子疤痕的本质特征及其在计算模型中的显现规律。