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该研究团队提出了一种递归定义的标志电路序列，可检测在故障距离为2的CSS编码上由非容错RZ(π/2^l)门引发的逻辑错误。作为应用，研究人员给出了一组具有O(l)门和辅助位的电路族，能在任意[[k+2,k,2]]冰山码上实现容错逻辑RZ(π/2^l)或RZZ(π/2^l)门，并为[[7,1,3]]编码设计出规模为O(l)的容错电路来制备|π/2^l⟩资源态——这些资源态可通过门传输实现容错RZ(π/2^l)旋转，从而在l相对于所需精度较小时规避门合成的高开销。该工作还展示了如何将上述电路推广至π(x0.x1x2...xl)=Σ_j πx_j/2^j旋转（保持与l相同的开销），这种技术在时间二进制离散化的量子模拟中具有应用价值。最后，研究人员阐述了两种提升构造故障距离的方法：演示了如何在Steane码中将T门电路的Clifford化版本故障距离提升至3，以及如何通过两级冰山码的级联将π/2冰山电路故障距离提升至4。这最终在[[(k2+2)(k1+2),k1k2,4]]编码的逻辑量子位行上实现了故障距离为4的定向逻辑RZ(π/2)门。