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调制对称性是指以空间非均匀方式作用的内禀对称性。因此，当调制对称性G_int与空间对称性G_sp结合时，总对称群呈现半直积形式G=G_int⋊G_sp。借助矩阵乘积态方法，该研究团队在一维空间中对受调制对称性与空间对称性共同保护的拓扑相进行了分类。研究表明，这些调制对称性保护的拓扑（SPT）相由H²(G,U(1)s)进行分类，这与晶体等效原理一致——该原理指出，涉及空间元素的对称性所保护的SPT相，与将这些对称性视为内禀作用时所保护的SPT相存在一一对应关系。 此外，该工作通过矩阵乘积态推导了对应内禀SPT相的Lyndon-Hochschild-Serre谱序列，从而建立了调制SPT相与内禀SPT相之间的显式对应关系。作为分类的应用，研究人员证明了针对调制对称性的Lieb-Schultz-Mattis（LSM）定理（该定理禁止对称短程纠缠基态的存在），以及强制SPT基态具有非平凡纠缠的SPT-LSM约束条件。最后，该团队利用该分类方法，为非可逆Kramers-Wannier反射对称性建立了类似的LSM型约束。