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量子度规编码了布洛赫波函数的几何结构，并主导着广泛的物理响应。其布里渊区积分——量子权重——出现在结构因子中，并为光学带隙和介电常数等可观测量提供下界。在对称性保护拓扑（SPT）相中，非平庸的能带拓扑性对量子权重施加了下界，并对可观测量形成约束。本研究将量子几何的拓扑下界推广至超越SPT相的系统。该团队证明：通过投影谱定义的拓扑不变量能对量子权重形成下界，此时量子度规需附加对称性破缺修正项。该工作提出的下界关系即使在基础对称性破缺时依然成立，且可通过外场下光学电导率求和规则进行实验验证。研究人员通过在自旋陈绝缘体模型中添加非零自旋轨道耦合项来阐释该理论，证明即使传统拓扑下界失效时，新提出的下界仍然适用。