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物质的拓扑相传统上通过基于对称性的分类进行表征。在对称性破缺情况下，投影谱——通过将基态投影到相关量子可观测量（如自旋或轨道角动量）的本征态上获得——为拓扑相分类提供了明确方法。该方法支撑了诸如自旋分辨拓扑和特征谱拓扑等著名框架。该研究团队在此引入嵌套特征谱拓扑，其中投影算符被递归应用于特征谱的子区域，从而生成特征谱的层级结构。研究人员在非相互作用费米子系统中揭示了特征谱拓扑、纠缠谱与威尔逊环谱之间的基本三元等价性。这一等价性表明，特征谱编码了量子观测量各子区域（如自旋分辨拓扑中的自旋向上与向下态）间的纠缠。该工作进一步证明，纠缠谱中的谱流与特征谱中威尔逊环绕数，是特征-能量互补性的等效表现：即边界上无论能量谱还是投影谱出现无能隙的谱流。这种互补性完善了传统的体-边对应关系，证明即使能谱存在能隙时，拓扑边界模式仍可能持续存在于特征谱中。该成果为特征谱中能带拓扑起源提供了更深入的理解和坚实基础。