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简谐振子具有著名的可归一化、正能量束缚态谱。该研究团队证明，与每个这样的正能量本征值简并存在一个不可归一化的正能量本征态，其本征函数与标准能量本征函数正交。这类态并非建立在湮灭算符a作用的真空上，而是建立在由a†a湮灭的真空上。这些不可归一化但依然稳定的能量本征态还伴随着另一组不可归一化态——这些态的波函数不具稳定性，而是随时间线性增长。由于这些态并非能量本征态，哈密顿算符的本征基不完整；整个希尔伯特空间包含非能量本征态。因此简谐振子的每个能量本征值都是一个例外点，此时哈密顿算符会转化为不可对角化、从而明显非厄米的若尔当块形式。此类非厄米结构出现在具有反线性PT对称性的哈密顿算符中。作为这类体系的特征，尽管存在随时间线性增长的现象，仍可构建概率守恒的内积——该内积不仅与时间无关，还会导致零范数态的产生。此外，正如PT对称性的另一特征，通过解析延拓至复平面所谓的斯托克斯楔形域，这些不可归一化态可变为可归一化态。在该域中，量子理论完全自洽，并与标准的可归一化能量本征谱域共存。这个"并非如此简单"的简谐振子具体印证了该团队的核心观点：在量子理论中，反线性性质比厄米性更为根本。