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在Koopman-von Neumann表述中，经典力学是在希尔伯特空间中描述的。此处研究表明，经典正则变换由通常不可对易的厄米算符生成。这自然导致了经典力学中固有的不确定关系，例如位置与空间平移生成元之间、动量与动量平移生成元之间、以及动力学时间与刘维尔算子之间的关系等。进一步研究表明，维格纳表示会产生可能取负值的准概率分布。因此，量子力学的两个标志性特征在经典力学的希尔伯特空间表述中得以复现并显现。