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距离度量是机器学习的核心要素，然而由于量子测量的基本限制，人们对量子态系综间距离的理解仍十分有限。该研究团队提出了一种称为MMD-k的积分概率度量层级框架，将最大均值差异推广至量子系综领域，并揭示了随着矩阶数k增大，判别能力与统计效率之间存在的严格权衡关系。对于规模为N的纯态系综，基于实验可行的SWAP测试估计器估算MMD-k时：当k为常数时需Θ(N²⁻²/ᵏ)样本量；而要实现k=N时的完全判别能力则需Θ(N³)样本量。相比之下，量子Wasserstein距离仅需Θ(N²logN)样本量即可达到完全判别能力。这些发现为量子机器学习中损失函数的设计提供了理论依据，该工作通过在量子去噪扩散概率模型训练中的应用验证了其价值。