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从具有能量期望值约束（Eav=⟨ψ|H|ψ⟩）的哈尔系综中抽取的随机量子态会呈现"本征态凝聚"现象：当Eav低于临界值Ec时，这些态会与基态产生宏观尺度的重叠。该研究团队在有限维希尔伯特空间系统中研究了本征态凝聚现象。这些系统展现出三个相：基态相（能量约束随机态与基态存在宏观重叠）、高温相（与各能量本征态的重叠呈指数级衰减）以及反基态相（与最高激发态存在宏观重叠）。在局域自旋系统中，基态相和反基态相会以1/[系统尺寸]的速率向能谱中部靠近，但由于凝聚相变具有指数级而非多项式级的有限尺寸标度行为，交叉区域会随系统尺寸呈指数级锐化，因此高温相最恰当的理解应为扩展相。