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研究人员研究了掺杂魔法态与虚数资源的正交或实数克利福德电路的统计特性。通过建立实数克利福德群的魏因加滕演算，该团队推导出实数稳定子态的重叠分布精确表达式，发现了一类新的普适性规律——正交克利福德波特-托马斯分布。研究证明，局部实数架构在对数深度下即可恢复这一全局统计特性。此外，该工作揭示出资源需求的显著层级结构：虽然恢复哈尔统计需要多项式对数数量的魔法态，但复原完整酉克利福德统计仅需单个相位门即可实现。