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该研究团队提出了一种纯粹基于二维横向实现的相位门方案，适用于克利福德层级任意层级乃至更高级别，该方案利用非阿贝尔曲面码实现。具体而言，研究人员在三角形空间区域上通过非阿贝尔群G的量子双代数D(G)编码逻辑量子比特，并通过在空间区域堆叠由群2-上循环指定的对称保护拓扑(SPT)相来实现横向逻辑门操作。 该工作突破了Bravyi-König定理的限制——该定理指出在D维泡利稳定子码上，恒定深度量子电路可实现的酉门仅限于克利福德层级的第D层。该团队通过使用非阿贝尔群G的量子双代数，在不牺牲局域性或容错能力的前提下，在纯二维系统中实现了克利福德层级任意层级的横向酉门。特别地，当G取8N阶二面体群D4N时，研究人员在逻辑Z基下实现了相位门T1/N=diag(1,eiπ/(4N))。当8N=2n时，该门处于克利福德层级的第n层，并且具有纯量子比特实现方案：研究证明该门可通过晶格每条边上具有n个物理量子比特的代码的克利福德层级稳定子构造实现。 该论文还探讨了向Z2×Z2和Z2环面码的代码切换技术，这种技术可在该设置中用于量子纠错。