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霍夫曼证明：对于具有邻接矩阵特征值λ₁≥⋯≥λₙ和色数χ(G)的图G，满足χ(G)≥1+κ，其中κ是使λ₁+∑ᵢ₌₁ᵏλₙ₊₁₋ᵢ≤0成立的最小整数。该研究团队将此特征值界限推广到距离k场景，并通过证明其同样能下界对应的量子距离着色图参数，展示了该结论的强化形式。新界限取决于一个可自由选择的k次多项式，因此需要合理选择多项式以获得尽可能强的界限。为此，研究人员提出线性规划方法对其进行优化，并探究了新界限对量子距离色数的影响，证明其对某些图类具有尖锐性。最后，该工作将霍夫曼界限推广到向量色数的距离场景，所得结果扩展并统一了文献中的若干已有界限。