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该研究团队研究了（2+1）维具有G=Gₛₚₐ₈ₑ×K对称性的玻色子对称性保护拓扑（SPT）相，其中Gₛₚₐ₈ₑ为一般壁纸群，K=U(1)、ℤ_N或SO(3)为内禀对称性。针对每种情况，研究人员提出了一套多体不变量，可检测实空间构造与群上同调分类所预测的所有不同相。这些不变量通过对给定基态施加部分旋转与反射操作，并结合K对称性下的适当操作获得。该工作引入的反射对称不变量包括“双部分反射”、“弱部分反射”及其“相对”或“扭曲”版本——这些不变量同时也依赖于K对称性。通过基于实空间构造的基态精确计算验证了该方案。团队以p4m和p4g群为例详述了该方法，并针对p4m群导出了涉及方向反转对称性规范场的拓扑有效作用量。该成果为完整表征（2+1）维玻色子SPT基态中的晶体拓扑不变量提供了具体方法。