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魔法态蒸馏是实现容错量子计算的主要方法，但成本高昂，因此探索各种降低其开销成本的途径至关重要。在目标误差率ϵ下制备魔法态所需的辅助量子比特数量为O(logγ(ϵ⁻¹))，其中γ被称为产率参数。Hastings与Haah基于穿孔里德-穆勒码，提出了一系列具有次对数开销（即γ<1）的蒸馏协议。基于Campbell团队和Krishna-Tillich的研究（该研究指出维度p>2的量子比特可显著降低开销），该团队将这种构造推广至任意素数维度p的量子比特。研究发现，在一种可解析处理的穿孔方案中，实现次对数开销所需的量子比特数量随p增大而急剧减少，且当p→∞时，渐近产率参数趋近于1/ln p。此外，该团队还通过小型计算搜索寻找最优穿孔位置，由此获得多个具有研究价值的三重正交码，其中包括γ=0.99的[[519, 106, 5]]₅码。