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沃尔什量子化的面包师映射是环面上量子混沌的模型。该研究团队证明，对于所有缩放因子D≥2的面包师映射（除D=4外），在典型情况下（就特征空间上的哈尔测度而言，这些特征空间是简并的），缩放矩阵元素涨落N^(-1/2){⟨φ(j)|Op_{k,ℓ}(a)|φ(j)⟩−∫𝕋² a}_(j=1)^N的经验分布，对于随机特征基{φ(j)}_(j=1)^N在半经典极限N→∞时渐近服从高斯分布，其方差由经典面包师映射相关性给出。这确定了这些特征基在量子遍历定理中的精确收敛速率。研究人员获得了这些本征态的“本征态热化假说”(ETH)的一个版本，包括非对角矩阵元素的极限复高斯分布，其方差同样由经典相关性给出。经典相关性的存在表明，尽管这些本征态是随机的，但仍具有使其区别于哈尔随机向量的微观关联性。对于唯一特例D=4，矩阵元素涨落的高斯性取决于经典可观测量在环面分形子集上的取值。