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该研究团队证明，学习秩为r的混合态ρ∈ℂ^(d×d)至迹距离误差ε所需的最小样本数n=Ω(r d/ε²)。该结果与[OW16]文献中给出的上限n=O(r d/ε²)相匹配，从而最终确定了混合态层析成像的样本复杂度。研究人员通过研究全态层析的一种特殊形式——称为投影器层析——来证明该下界，其中ρ被约束为ρ=P/r的形式（P∈ℂ^(d×d)为秩r投影算子）。该证明中具有独立理论价值的关键技术环节在于：将任意能在迹距离误差ε下实现投影器层析的算法，转化为能在更严格的Bures距离误差O(ε)下进行学习的算法归约方法。