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解码表面码和环面码等稳定子码涉及评估无序统计力学模型中的自由能差异，其中随机性来自观察到的错误综合症模式。该研究团队研究了环面码中观察到的综合症逻辑失败率的统计分布，并表明，在编码阶段内，逻辑失败主要由指数级不可能的综合症引起。因此，对不看到这些指数级不可能的综合症模式进行后选择，可提供可扩展的精度增益。通常，逻辑错误率可以从 p_f 抑制到 p_f^b，其中 b≥2；在完美综合症测量的环面码特定情况下，数值分析发现 b=3.1(1)。这些论证适用于一般拓扑稳定子码，并且只要解码失败概率服从大偏差原理，就可以扩展到更一般的设置。