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同构算术的层次结构由一个双射gℝ：ℝ→ℝ定义。它产生了一个概率模型的层次结构，其中概率pk = gk(p)，其中g是gℝ在区间[0,1]上的限制，gk是g的第k次迭代，k是任意整数（正数、负数或零；g0(x) = x）。p与gk(p)（k > 0）之间的关系类似于概率与神经激活函数之间的关系。对于k ≪ -1，gk(p)本质上是白噪声（所有过程同样可能）。k = 0的选择在物理上如同空间中直线原点的选择一样任意，因此我们视为实验二元概率的pexp可以由任何k给出，pexp = gk(p)。量子二元概率由g(p) = sin²(π/2 * p)定义。通过这种具体形式的g，可以发现层次结构中任何两个相邻层级之间都存在量子-亚量子的关系。从这个意义上说，层次结构中的任何模型在适当的算术和微积分中都是概率量子化的。反之亦然：任何模型在适当的算术和微积分中都是亚量子的。涉及两个以上事件的概率通过二元条件概率树来构建。我们从这一角度讨论了单重态概率和贝尔不等式。研究发现单重态概率同时涉及层次结构的三个层级：量子层级、隐藏层级和宏观层级。作为分析的副产品，该团队发现了Fubini-Study测地线距离的新（算术）解释。