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空间调制对称性是一种新型对称性，其对称操作具有位置依赖性。然而由这些空间调制对称性所产生的外尔相尚未被完全理解和分类。该研究团队通过采用矩阵乘积态形式体系，系统性地分类了受多极子对称性保护的一维玻色对称保护拓扑相。这种对称操作会在开放链末端诱导出射影表示，研究人员通过群上同调理论对其进行了识别。特别值得注意的是，对于r极对称性（例如r=0对应全局对称性，r=1对应偶极子对称性，r=2对应四极子对称性），其分类由第二上同调群的不同分量决定，这些分量编码了边界射影表示特征。