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在一篇早期论文（Ducharme等人，《物理评论快报》126卷134803页，2021年）中，关于相对论性高斯电子束的狄拉克方程解表明：对于发散电子束，每个电子的自旋是自旋矩阵与轨道角动量算符分数贡献的叠加。分数轨道角动量现象颇具意义，因为它将电子自旋部分归因于自旋轴周围空间中的动量流动。为深化该研究，本文将电子束缚于三维谐振子这一更简单的问题表述为用升降算符表示的克莱因-戈登方程。随后推导出谐振子的两种狄拉克方程变式——其区别在于分别包含升算符或降算符。研究证明，这两个方程的解虽描述具有相同能量与自旋的电子，但关键差异在于：一个解包含分数轨道角动量，而另一个解则不包含。研究还表明，自旋中存在的轨道角动量分数取决于谐振子速度，这揭示了通过洛伦兹变换实现自旋与轨道角动量算符进一步可互换性的可能性。