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哈尔随机态是量子信息理论和量子计算中的基本研究对象。该研究团队通过正交群上的哈尔测度采样d维量子态的t份副本，对所得密度矩阵进行了研究。具体而言，研究人员解析计算了其谱分解，从而能精确计算出实数哈尔随机态t份副本与复数哈尔随机态t份副本之间的迹距离。基于此，该工作展示了实数值态t-设计的近似参数下界，并改进了虚性测试所需副本数量的下界。