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研究人员探讨了当爱丽丝拥有量子态|ψ⟩的经典描述时，需要多少经典通信才能使鲍勃在给定厄米特观察量M（满足||M||op ≤1）的情况下恢复任意期望值⟨ψ|M|ψ⟩。这一问题由Raz（ACM 1999）率先提出，近期Gosset与Smolin（TQC 2019）进行了深入研究，可视为量子学习理论中经典阴影问题在纯态情况下的全经典版本。该工作揭示了这两个看似不同问题之间的硬度关联。 研究团队首先考察了通信问题的相对误差版本，证明了单向随机经典通信的下界为Ω(√2^nϵ^-2)，改进了Gosset与Smolin提出的Ω(√2^n)加性误差下界。值得注意的是，该下界不仅适用于所有观察量集合，即便局限于泡利观察量类时依然成立。这一事实表明，在使用经典内存的非自适应泡利经典阴影方案中，相对误差与加性误差设定的压缩规模存在Ω(√2^n)与O(poly(n))的显著差异。 通过扩展该框架，该团队进一步证明了其他相对误差单向经典通信任务的随机通信下界：当爱丽丝持有观察量而鲍勃拥有量子态时估计期望值需要Ω(2^nϵ^-2)的通信量；若限于泡利观察量则为Ω(√nϵ^-2)；当双方均持有量子态需估算内积时，通信下界为Ω(√2^nϵ^-2)。